实数集和有理数集分别包括什么

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

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有理数实数集合

　　在初中数学练习中经常会看到实数集和有理数集这两个词，往往对解题起着决定性的作用，那么你知道它们是什么意思吗？如果还不够确定的话就接着往下看看实数集和有理数集包括什么吧。

　　集合的定义是什么

　　集合是指具有同一特定性质的元素而成的集体，一般集合以所有的性质来命名。对于集合A，由x，y组成，即A={x，y}，x和y叫做集合A的元素，写作x，y∈A，而z并不是集合A中的数，写作z∉A。假设x<y，则集合B=【x，y】表示x到y之间的数并且包括x和y，集合C=（x，y）表示x到y之间的数但不包括x和y。这三个集合存在以下关系：A+C=B，C∈B。

　　集合中元素的数目称为集合的基数，含有有限个元素的集合叫做有限集，也就是说有限集的基数是有限的。以上的集合A是有限集，集合B和集合C是无限集。

　　实数集包括什么

　　实数是有理数和无理数的总称，全体实数组成的集合称为实数集，实数集也就是包含所有有理数和无理数的集合，记作R。在平面几何中，坐标轴的x轴是所有实数的集合，也称为实轴。

　　有理数集包括什么

　　在初中数学中，有理数是整数和分数的统称，有理数集即由所有有理数所构成的集合，也是整数和分数的集合，用黑体字母Q表示。其中整数可以看成分母为一的分数，包括正整数、0、负整数。例如5是有理数，是有理数集Q中的一个元素。

　　关于实数集和有理数集包括什么的问题已经为大家解答完毕了，根据以上所说，实数集包含有理数集，即Q∈R。明白实数集和有理数集包括什么之后，再在练习中遇到这两个概念时，就可以轻松地解决了。

元素与集合是什么关系

　　集合，简称集，是数学中一个基本概念，也是集合论的主要研究对象。为了帮助大家学习，小编整理了元素与集合的关系，以供参考。　　　　元素与集合的定义　　　　集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总而成的集体。其中，构成集合的这些对象则称为该集合的元素。　　　　元素与集合的关系　　　　元素a与一个给定的集合A只有两种可能：a属于集合A，表述为a是集合A的元素，记作a∈A；a不属于集合A，表述为a不是集合A的元素，记作a∉A。也就是说，对于一个元素和一个集合来说，只有该元素属于以及不属于该集合这两种关系。　　　　元素与集合的性质　　　　1、确定性。给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。　　　　2、互异性。一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。　　　　3、无序性。一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。　　　　以上就是元素与集合的关系。简单来说，集合是“确定的一堆东西”，集合里的“东西”则称为元素。

什么叫实数？初中数学实数知识点整理

　　有理数和无理数统称为实数，下面小编整理了初中数学实数相关的知识点，希望对大家有帮助。　　　　初中数学实数的分类　　　　实数可以分为为有理数和无理数两大类，有理数又包括整数(正整数、0、负整数)和分数(有限小数和无限环循小数)，无理数就是无限不环循小数，基本上中学阶段我们接触到的数都是实数。　　　　初中数学实数大小的比较　　　　实数大小比较的几种常用方法有：　　　　1、数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。　　　　2、求差比较：设a、b是实数，若a-b>0，则a>b；若a-b=0，则a=b；若a-b<0，则a<b。　　　　3、求商比较法：设a、b是两正实数，若a/b>1，则a>b；若a/b=1，则a=b；若a/b<1，则a<b；　　　　4、绝对值比较法：设a、b是两负实数，若∣a∣>∣b∣则a<b。　　　　5、平方法：设a、b是两负实数，若a²>b²则a<b。　　　　初中数学实数的运算　　　　1、运算法则：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算。　　　　2、运算定律：　　　　加法交换律：a+b=b+a　　　　加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)　　　　乘法交换律：a*b=b*a　　　　乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)　　　　乘法对加法的分配律：a*(b+c)=a*b+a*c　　　　3、在实数范围内进行运算的顺序是：先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减，即先算高级的再算低级的；运算中有括号的，先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。　　　　上文为及同学们解答了什么叫实数的问题，并整理了初中数学实数相关知识点。实数是数学中的基础知识点，能否正确理解和掌握对后面的学习很重要，因此希望同学们能认真对待。

有理数的定义和分类，有理数是什么数

　　由于不重视基础内容的学习，很多中学生分不清有理数和无理数，为了方便大家更加清晰的了解有理数的知识点，小编收集了有理数的定义和分类，来和大家分享一下。　　有理数的定义　　有理数是指两个整数的比，可以是整数（整数也可看做是分母为一的分数），也可以是分数。如果用小数来表示有理数，应该是有限小数或为无限循环小数。元素为全体有理数的集合称为有理数集，有理数集一般用大写黑正体符号Q表示。　　有理数的分类　　1、按有理数的定义分类可分为整数和分数。　　整数：整数包括正整数、0、负整数。其中零和正整数统称自然数。　　分数：分数是一个整数a和一个正整数b的不等于整数的比。分数表示一个数是另一个数的几分之几，或一个事件与所有事件的比例。　　2、按有理数的性质分类可分为正有理数、零和负有理数。　　正有理数：正有理数指大于0的有理数，正有理数还被分为正整数和正分数。　　(2)0：0是介于-1和1之间的整数，既不是正数也不是负数。　　(3)负有理数：负有理数指小于0的有理数，就是小于零并能用小数表示的数。　　有理数和无理数　　在数学中，将不可以化为整数或者整数比的实数称为无理数，也就是无限不循环的小数。无理数的性质是不能用分数表示，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会有规律地进行循环，也就是说无理数就是无限不循环的小数。而有理数是由全体分数和整数组成，总能写成整数、分数、有限小数或无限循环小数。　　以上就是小编整理的有理数的定义和分类，以供大家参考。除了有理数的定义，在数学中有很多“数”的概念，比如实数、整数、负数、自然数等等，看似不起眼但掌握他们的定义在解题时还是很有帮助的。

初中数学有理数的概念是什么，有理数有哪些性质

　　在初中数学的学习中，会有x是取值范围是全体有理数，那么你知道初中数学有理数的概念是什么吗？有理数又包括哪些数呢？下面就跟着小编一起来学习吧。　　初中数学有理数的概念是什么　　在初中数学中，有理数是整数和分数的统称，有理数集即由所有有理数所构成的集合，也是整数和分数的集合，用黑体字母Q表示。其中整数可以看成分母为一的分数，包括正整数、0、负整数。例如5是有理数，是有理数集Q中的一个元素。　　初中数学有理数的运算法则　　1、加法运算　　互为相反数的两数相加得0；互为相反数的两个数，可以先相加；分母相同的数可以先相加。　　2、减法运算　　减去一个数，等于加上这个数的相反数。　　3、乘法运算　　同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。　　4、除法运算　　除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数；零不能做除数和分母；有理数的除法与乘法是互逆运算。　　5、乘方运算　　负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。其中1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。　　6、加减乘除混合运算　　如果有括号，先算括号内的运算；如无括号，一般按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果是同级运算，则按照从左到右的顺序依次计算。　　关于初中数学有理数的概念已经为大家解释完毕了。在学习有理数的概念之后，还要了解相关名词的概念，例如自然数、无理数、实数等等。

空集是任何集合的子集对吗，这句话怎么理解

　　数学中所说的空集，并不是无的意思，它是指没有元素的集合，可以想象成一个篮子，虽然篮子里是空的，但篮子是真实存在的。那么空集是任何集合的子集这句话对吗？不确定的同学请跟着小编一起学习相关知识。　　子集是什么意思　　在数学中，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，写作A⊆B。如果集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于集合A，即A≠B，那么集合A就是集合B的真子集。根据子集的定义，我们知道A⊆A。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。　　空集是什么意思　　空集就是指不含任何元素的集合，写作Ø，空集的元素个数为零，是有限集合。值得注意的是{0}是一个集合，集合只有0这个元素；Ø是一个集合，但是不含任何元素；{Ø}是一个非空集合，集合只有空集这个元素。　　空集是任何集合的子集对吗　　根据子集和空集的定义，我们规定空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。　　空集和子集具有以下性质：　　对任意集合A，空集是A的子集；　　对任意集合A，空集和A的并集为A；　　对任意非空集合A，空集是A的真子集；　　对任意集合A，空集和A的交集为空集；　　空集的唯一子集是空集本身。　　在学习集合的过程中，很多同学应该都思考过空集是任何集合的子集对吗，对于这个问题相信看完本文的同学已经有明确的认识，空集是任何集合的子集，也是任何非空集合的真子集。空集是一个特殊的集合，同学们在学习时一定要格外注意。