初中数学全等三角形知识梳理

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1622882650

三角形全等三角形

　　全等三角形是初中学习阶段学习的一个重要知识点，很多初中生会觉得全等三角形是一个难以理解的概念，为此小编将整理的初中数学全等三角形知识梳理分享给各位同学。

　　数学全等三角形的概念

　　在数学几何中，将经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等的两个三角形对应的边和角相等，对应边上的高、角平分线、中线对应相等，全等三角形面积和周长相等。

　　数学全等三角形判定定理

　　SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

　　SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

　　ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

　　AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

　　HL(斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

　　2020中考数学全等三角形的应用

　　1、初中中对全等三角形的考查通常是证明两个三角形全等，较为简单会要求直接证明，有时需要做一些辅助线。

　　2、复杂的几何题会将全等三角形与其他知识点结合起来，运用到全等三角形的性质，即通过证明两个三角形全等，从而得出对应边或对应角相等。因此我们在书写时要一定要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，方便找出对应的边和角。

　　3、在运用全等三角形判定定理的时候，一定要注意SAS、ASA是两角的夹边和两边的夹角，AAS是两角的对边，如果是直角三角形可以优先考虑用HL来证明。

　　初中数学全等三角形知识梳理已经为大家整理完毕了。我们要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等，为了达到这种效果，同学们一定要多做一些习题练习，并从中总结经验和解题思路。

全等三角形辅助线的常见作法有哪些

　　如何借助辅助线来构建全等三角形，根据全等三角形的性质推断出对应的边角关系，是解决大部分几何问题的基本思路。那么接下来就跟着小编一起来学习一下全等三角形辅助线的作法吧。　　全等三角形的判定定理　　全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。两个三角形是否全等可以根据以下的方法来判定：　　1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。　　2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。　　3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。　　4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。　　5、HL（斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。　　全等三角形辅助线的作法　　1、遇到等腰三角形，由于等腰三角形“三线合一”的性质，可作底边上的高作为全等三角形的辅助线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。　　2、如果题意中已知三角形的中线，可以运用倍长中线的方法，使延长线段与原中线长相等，又因为对顶角相等，就已经存在一边一角对应相等的关系了，从而构造全等三角形。　　3、利用角平分线添加辅助线的方法：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形；可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。　　4、截长法与补短法：将某条线段延长，使之与特定线段相等，并连接相关的线段，尝试构建全等三角形。这个方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。　　以上就是全等三角形辅助线的作法。遇到求线段长度或角的角度的几何问题，先看题意给出的图形中有没有全等三角形可以利用，如果没有可以考虑用以上的方法来添加全等三角形辅助线，构成全等三角形，从而解决问题。

三角形边长计算公式是什么

　　三角形是一种在日常生活以及学习过程中经常会遇到的一种几何图形，相信同学们对它都不会陌生。下面我们要学习的就是三角形边长计算公式。　　　　三角形边长计算公式　　　　在任何一个三角形中，任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的2倍乘以它们夹角的余弦。几何语言：在△ABC中，a²=b²+c²-2bc×cosA；此定理可以变形为：cosA=（b²+c²-a²）/2bc。同理可得：cosB=(a^2＋c^2－b^2)/2ac； cosC=(a^2＋b^2－c^2)/2ab　　　　特殊三角形边长计算公式　　　　特殊的三角形包括：直角三角形、等边三角形、等腰三角形等。　　　　1、解直角三角形的理论依据是勾股定理和三角函数公式：如果是已知边长求边长，则一般选择勾股定理；利用三角函数可以求出对应的边长和角度。　　　　2、对等边三角形和等腰三角形而言，边长和角度大小具有一定的规律，可以帮助我们快速解决问题。　　　　三角形边长的关系　　　　对任何一个三角形来说，都有：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。用字母可表示为：a+b>c, a+c>b, b+c>a；|a-b|<c ,|a-c|<b, |b-c|<a。确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即|a-b|<c<a+b。在计算题中，这一规律可以帮助我们检验上述公式得出的结果是否是正确的。　　　　以上就是三角形边长计算公式。小编总结的这些三角形边长计算公式是解决几何证明题和几何计算题的重点，希望同学们一定要认真掌握起来，同时也建议大家多做一些专项练习题来巩固理解。

旋转构造全等，旋转全等重难点突破

　　在数学几何中，如果题目给出的条件不足以推出最后的结论，我们往往要通过构造全等三角形的方法来过渡或转换边角关系。运用旋转构造全等三角形是其中最常见的方式，那么下面小编就来讲讲旋转构造全等的相关知识吧。　　旋转构造全等的原理　　把一个平面图形绕平面内一点O按顺时针或逆时针旋转一定的角度，得到的图形称为旋转变换，点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。特别地，旋转角为180°的旋转叫做中心对称。　　旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。　　中心对称的性质：对应线段平行且相等，对应角相等；连结对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如反函数的图像就是中心对称图形，对称中心是坐标轴的原点。　　旋转构造全等的方法　　旋转变换应用于几何辅助线中常见的有下面三种情况：　　1、旋转90°角：当题目条件中有正方形或直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°；　　2、旋转60°角：当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°；　　3、当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数。　　旋转构造全等的例题　　在正方形ABCD中，点E、F分别在AB和BC上，∠EDF=45°。求证：EF=AE+FC　　证明：将△ADE绕D点逆时针旋转90°，到△CDE’的位置上　　则CE’=AE，DE=DE’，∠ADE=∠CDE’　　在正方形ABCD，∠EDF=45°　　∴∠ADE+∠CDF=45°　　∴∠CDE’+∠CDF=45°=∠FDE’　　∴∠EDF=45°=∠FDE’　　又∵DE=DE’，∠EDF=∠FDE’，DF=DF（公共边）　　∴EF=E’F=E’C+CF=AE+FC　　旋转构造全等在数学考试中通常是与其他的知识点结合在一起综合考察，因此同学们在学习旋转构造全等相关的内容时，也要认真复习图形的相关性质，并在解题中灵活地运用这些知识。

三角形的定义是什么

　　三角形是一种在日常生活以及学习过程中经常会遇到的一种几何图形，相信同学们对它都不会陌生，而今天我们要学习如何给三角形下定义。　　　　三角形的定义　　　　由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，其中三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。在小学和中学学习阶段，我们所说的三角形一般是指平面三角形。　　　　三角形的分类　　　　按角的角度可以分成：　　　　1、锐角三角形：三个内角都小于90度。　　　　2、直角三角形：三个内角中一个角等于90度。　　　　3、钝角三角形：三个内角中有一个角大于90度。　　　　按边的长度关系可以分成：　　　　1、不等边三角形：三条边都不相等。　　　　2、等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。　　　　3、等边三角形，又称正三角形：三边相等的三角形。　　　　三角形的基本性质　　　　1、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。　　　　2、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。　　　　3、在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。　　　　4、一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。　　　　6、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。　　　　7、在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边。　　　　8、三角形具有稳定性，不易变形。　　　　上文中我们学习了三角形的定义是什么，三角形是几何图案的基本图形，在后面的几何学习中至关重要，因此同学们一定要理解三角形的定义并掌握三角形的基本性质。

初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线总结

　　全等三角形是初中数学一个重要的知识点，今天分享的是初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线知识点总结。　　初中数学三角形全等的判定　　1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。　　2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。　　3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。　　4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。　　5、HL(斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。　　初中数学三角形全等的性质　　在数学几何中，将经过翻转、平移后，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，全等的两个三角形对应的边和角相等，对应边上的高、角平分线、中线对应相等，全等三角形面积和周长相等。　　初中数学三角形全等的辅助线　　1、遇到等腰三角形，由于等腰三角形“三线合一”的性质，可作底边上的高作为全等三角形的辅助线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。　　2、如果题意中已知三角形的中线，可以运用倍长中线的方法，使延长线段与原中线长相等，又因为对顶角相等，就已经存在一边一角对应相等的关系了，从而构造全等三角形。　　3、利用角平分线添加辅助线的方法：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形；可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。　　4、截长法与补短法：将某条线段延长，使之与特定线段相等，并连接相关的线段，尝试构建全等三角形。这个方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。　　以上就是初中数学三角形全等的判定+性质+辅助线总结。全等三角形的相关知识点是各位初中生们必须要掌握的内容，不仅经常出现在初中数学考试中，也是我们学习高中数学的基础。