旋转构造全等，旋转全等重难点突破

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1625132917

几何全等三角形旋转

　　在数学几何中，如果题目给出的条件不足以推出最后的结论，我们往往要通过构造全等三角形的方法来过渡或转换边角关系。运用旋转构造全等三角形是其中最常见的方式，那么下面小编就来讲讲旋转构造全等的相关知识吧。

　　旋转构造全等的原理

　　把一个平面图形绕平面内一点O按顺时针或逆时针旋转一定的角度，得到的图形称为旋转变换，点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。特别地，旋转角为180°的旋转叫做中心对称。

　　旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。

　　中心对称的性质：对应线段平行且相等，对应角相等；连结对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如反函数的图像就是中心对称图形，对称中心是坐标轴的原点。

　　旋转构造全等的方法

　　旋转变换应用于几何辅助线中常见的有下面三种情况：

　　1、旋转90°角：当题目条件中有正方形或直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°；

　　2、旋转60°角：当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°；

　　3、当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数。

　　旋转构造全等的例题

　　在正方形ABCD中，点E、F分别在AB和BC上，∠EDF=45°。求证：EF=AE+FC

　　证明：将△ADE绕D点逆时针旋转90°，到△CDE’的位置上

　　则CE’=AE，DE=DE’，∠ADE=∠CDE’

　　在正方形ABCD，∠EDF=45°

　　∴∠ADE+∠CDF=45°

　　∴∠CDE’+∠CDF=45°=∠FDE’

　　∴∠EDF=45°=∠FDE’

　　又∵DE=DE’，∠EDF=∠FDE’，DF=DF（公共边）

　　∴EF=E’F=E’C+CF=AE+FC

　　旋转构造全等在数学考试中通常是与其他的知识点结合在一起综合考察，因此同学们在学习旋转构造全等相关的内容时，也要认真复习图形的相关性质，并在解题中灵活地运用这些知识。

初中数学几何知识点例题讲解：图形的旋转

　　本文将带领同学们认识图形的旋转，探索图形旋转的特征和性质，感受图形旋转带来的变化以及在生活中的应用，为后续学习打下坚实的基础。那么就让我们一起进入初中数学知识例题点讲解：图形的旋转。　　图形的旋转的定义　　将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后图形大小和形状都没有改变，变化的是位置。　　中心对称：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这个点对称或中心对称。中心对称图形：若一个图形绕着某个点O旋转180°，能够与原来的图形完全重合，则这个图形叫做中心对称图形。这个点叫做该图形的对称中心。　　图形的旋转的性质　　1、旋转后的图形与原图形全等；　　2、对应线段与O形成的角叫做旋转角，各旋转角都相等；　　3、对应点到旋转中心距离相等。　　例题讲解：图形的旋转　　在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，M、N是斜边AB上的点，且∠MCN=45°，AM=3，BN=5，求MN的长。　　解：将△ACM绕着C点，顺时针旋转90度，得到△BCM’，连接NM’　　故有△ACM≌△BCM’　　∴AM=BM’，CM=CM’，∠ACM=∠BCM’，∠CAM=∠CBM’　　∵∠MCN=45°，∠C=90°　　∴∠NCB+∠ACM=∠C-∠MCN=45°　　∴∠NCM’=∠NCB+∠BCM’=∠NCB+∠ACM=45°　　∴∠MCN=∠NCM’　　且CM=CM’，CN=CN（公共边）　　∴△NCM=△NCM’（SAS）　　∴MN=M’N　　在Rt△ABC中，∠CAM+∠NBC=90°　　∴∠CBM’+∠NBC=90°　　∴∠NBM’=90°即△NBM’是直角三角形　　∵AM=3，BN=5　　∴M’N²=BM’²+BN²=AM²+BN²=3²+5²=34　　∴M’N=根号34　　初中数学知识例题点讲解：图形的旋转已经为大家介绍完毕。我们可以通过观察实例和实际操作来学习图形的旋转，并锻炼自己的空间想象力，做到能够用数学语言清楚描述旋转运动的过程，并在纸上画出旋转后的图形。

初中几何相似三角形的判定定理与相关性质

　　相似三角形是初中几何中重要的证明模型之一，在解决角度问题或求线段长度等问题时可以通过证明两个三角形相似来承接条件和结论，下面小编总结了初中几何相似三角形的判定定理，帮助大家快速掌握这一知识点。　　初中几何相似三角形的定义　　两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置不一定相同，这样的图形叫做相似图形，用符号“∽”来表示。两个图形的相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的。三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。全等三角形可以看做特殊的相似三角形，这时相似比等于1。　　在书写过程中，证明两个三角形相似,与证明两个三角形全等一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，方便得出下一步结论。　　初中几何相似三角形的性质　　1、对应角相等；　　2、对应边成比例，且对应边的比叫做相似比；　　3、对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；　　4、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。　　初中几何相似三角形的判定定理　　1、有两角对应相等的两个三角形相似；　　2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；　　3、三边对应成比例的两个三角形相似。　　4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。　　5、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。　　上文提到的初中几何相似三角形的判定定理的应用非常广泛，所以要求同学们要尽量熟记所有判定定理。在记忆的时候，要注意将初中几何相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理区分开，千万不要混淆了。

全等三角形辅助线的常见作法有哪些

　　如何借助辅助线来构建全等三角形，根据全等三角形的性质推断出对应的边角关系，是解决大部分几何问题的基本思路。那么接下来就跟着小编一起来学习一下全等三角形辅助线的作法吧。　　全等三角形的判定定理　　全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。两个三角形是否全等可以根据以下的方法来判定：　　1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。　　2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。　　3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。　　4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。　　5、HL（斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。　　全等三角形辅助线的作法　　1、遇到等腰三角形，由于等腰三角形“三线合一”的性质，可作底边上的高作为全等三角形的辅助线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。　　2、如果题意中已知三角形的中线，可以运用倍长中线的方法，使延长线段与原中线长相等，又因为对顶角相等，就已经存在一边一角对应相等的关系了，从而构造全等三角形。　　3、利用角平分线添加辅助线的方法：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形；可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。　　4、截长法与补短法：将某条线段延长，使之与特定线段相等，并连接相关的线段，尝试构建全等三角形。这个方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。　　以上就是全等三角形辅助线的作法。遇到求线段长度或角的角度的几何问题，先看题意给出的图形中有没有全等三角形可以利用，如果没有可以考虑用以上的方法来添加全等三角形辅助线，构成全等三角形，从而解决问题。

如何利用旋转的基本性质进行几何证明

　　本文将带领同学们探索图形旋转的基本性质，并通过经典例题的讲解，利用旋转的基本性质进行几何证明，利用这一方法可以解决许多几何难题。下面让我们一起学习如何利用旋转的基本性质进行几何证明吧。　　旋转的基本性质　　将一个图形绕着某点O转动一个角度的变换叫做旋转。其中，点O叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角。旋转前后图形大小和形状都没有改变，变化的是位置。图形旋转的基本性质有：　　1、旋转后的图形与原图形全等；　　2、对应线段与O形成的角叫做旋转角，各旋转角都相等；　　3、对应点到旋转中心距离相等。　　利用旋转的基本性质进行几何证明　　例：P是正三角形ABC内的一点，已知PA=6，PB=8，PC=10，求证∠APB=150°。　　证明：将△ACP绕点A逆时针旋转60°，AC与AB重合，点P’为点P的对应点。　　由旋转的性质可知△ACP≌△ACP’　　∴AP’=AP，∠P’AB=∠PAC，P’B=PC=10　　∵△ABC是正三角形　　∴∠BAC=∠BAP+∠PAC=60°　　∴∠BAP+∠P’AB=60°=∠DAP　　∴△APP’是正三角形　　∴P’P=PA=6，∠APP’=60°　　∴在△BPP’中，P’P²+PB²=6²+8²=10²=P’B²　　∴△BPP’是直角三角形（勾股定理逆定理）　　∴∠BPP’=90°　　∴∠APB=∠APP’+∠BPP’=60°+90°=150°　　利用旋转的基本性质进行几何证明其本质在于全等图形的应用，这也体现了初中知识都是环环相扣的，在学习的过程中要善于发掘题目的内在规律，利用旋转的基本性质解决更多的问题。

初中几何“相交线、平行线”知识点精讲

　　点、线、面是初中几何的主要学习内容，也构成了这个错综复杂的世界，相交线和平行线是学习初中几何图形以及解析几何的基础，那么接下来小编将与大家分享初中几何“相交线、平行线”的性质。　　初中几何相交线、平行线的定义　　在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。只有一个公共点的两条直线叫做相交线，永远没有交点的两条直线叫做平行线。　　初中几何相交线的性质　　1、邻补角：在两条相交的直线中其中一条直线的一侧，并且有一条公共边，具有这种关系的两个角，互为邻补角。互为邻补角的两个角互补。　　2、对顶角：有一个公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。互为对顶角的两个角相等。　　3、对顶角和邻补角是成对出现的。　　4、两条直线相交所成的四个角中，有一个角为90°时，称这两条直线互相垂直。垂直线是特殊的相交线，该交点也叫做垂足。　　初中几何平行线的性质　　1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。　　2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。　　3、平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；在同一平面内，平行或垂直于同一直线的两条直线互相平行。　　初中几何中的相交线、平行线及其相关性质是初中学习的重点内容，因此同学们要将上文提及的全部知识点熟记并学会灵活运用到实际解题中，值得注意的是千万不要相交线和平行线所围成的角的名称记错了。