全等三角形辅助线的常见作法有哪些

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1625133016

几何全等三角形辅助线

　　如何借助辅助线来构建全等三角形，根据全等三角形的性质推断出对应的边角关系，是解决大部分几何问题的基本思路。那么接下来就跟着小编一起来学习一下全等三角形辅助线的作法吧。

　　全等三角形的判定定理

　　全等三角形指两个全等的三角形，它们的三条边及三个角都对应相等。两个三角形是否全等可以根据以下的方法来判定：

　　1、SSS（边边边）：三边对应相等的三角形是全等三角形。

　　2、SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等的三角形是全等三角形。

　　3、ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等的三角形全等。

　　4、AAS（角角边）：两角及其一角的对边对应相等的三角形全等。

　　5、HL（斜边、直角边）：在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等。

　　全等三角形辅助线的作法

　　1、遇到等腰三角形，由于等腰三角形“三线合一”的性质，可作底边上的高作为全等三角形的辅助线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。

　　2、如果题意中已知三角形的中线，可以运用倍长中线的方法，使延长线段与原中线长相等，又因为对顶角相等，就已经存在一边一角对应相等的关系了，从而构造全等三角形。

　　3、利用角平分线添加辅助线的方法：可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，根据角平分线到两边距离相等的性质，可以得到两个全等的直角三角形；可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形；可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

　　4、截长法与补短法：将某条线段延长，使之与特定线段相等，并连接相关的线段，尝试构建全等三角形。这个方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

　　以上就是全等三角形辅助线的作法。遇到求线段长度或角的角度的几何问题，先看题意给出的图形中有没有全等三角形可以利用，如果没有可以考虑用以上的方法来添加全等三角形辅助线，构成全等三角形，从而解决问题。

旋转构造全等，旋转全等重难点突破

　　在数学几何中，如果题目给出的条件不足以推出最后的结论，我们往往要通过构造全等三角形的方法来过渡或转换边角关系。运用旋转构造全等三角形是其中最常见的方式，那么下面小编就来讲讲旋转构造全等的相关知识吧。　　旋转构造全等的原理　　把一个平面图形绕平面内一点O按顺时针或逆时针旋转一定的角度，得到的图形称为旋转变换，点O叫做旋转中心，旋转的角度叫做旋转角。特别地，旋转角为180°的旋转叫做中心对称。　　旋转的性质：旋转前后的图形全等，对应线段相等，对应角相等，对应线段所在直线的夹角中等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等。　　中心对称的性质：对应线段平行且相等，对应角相等；连结对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。例如反函数的图像就是中心对称图形，对称中心是坐标轴的原点。　　旋转构造全等的方法　　旋转变换应用于几何辅助线中常见的有下面三种情况：　　1、旋转90°角：当题目条件中有正方形或直角三角形时，常将图形绕直角顶点旋转90°；　　2、旋转60°角：当题目条件中有等边三角形时，常将图形绕等边三角形一顶点旋转60°；　　3、当题目条件中有等腰三角形时，常将图形绕等腰三角形顶角的顶点旋转顶角的度数。　　旋转构造全等的例题　　在正方形ABCD中，点E、F分别在AB和BC上，∠EDF=45°。求证：EF=AE+FC　　证明：将△ADE绕D点逆时针旋转90°，到△CDE’的位置上　　则CE’=AE，DE=DE’，∠ADE=∠CDE’　　在正方形ABCD，∠EDF=45°　　∴∠ADE+∠CDF=45°　　∴∠CDE’+∠CDF=45°=∠FDE’　　∴∠EDF=45°=∠FDE’　　又∵DE=DE’，∠EDF=∠FDE’，DF=DF（公共边）　　∴EF=E’F=E’C+CF=AE+FC　　旋转构造全等在数学考试中通常是与其他的知识点结合在一起综合考察，因此同学们在学习旋转构造全等相关的内容时，也要认真复习图形的相关性质，并在解题中灵活地运用这些知识。

做辅助线的方法，几何题做辅助线的技巧

　　辅助线是指在原图基础上所作的具有极大解题意义的直线或者线段，多用于几何学中解答疑难几何图形问题。做辅助线的方法有很多种，为了帮助同学们解决此类问题，小编将常见的做辅助线的方法整理成下文。　　三角形做辅助线的方法　　1、等腰三角形“三线合一”法：等腰三角形底边上的中线、底边上的高以及顶角的平分线互相重合，这一性质称之为“三线合一”。在等腰三角形中只需作出其中一条线，就可以运用这三条线的性质来解题。　　2、倍长中线法：顾名思义，即通过延长线段或取线段的中点来揭示图形中隐含性质，聚拢集中已知条件。这个方法也适用于很多图形。　　3、角平分线法：根据角平分线到两边距离相等的性质，自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，构造一对全等三角形。　　4、特殊角度构成法：遇到等腰直角三角形、正方形、或30-60-90的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到边和角的对应数值。　　梯形做辅助线的方法　　1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形分割为一个平行四边形和一个三角形，从而相关性质，将分散的条件集中到这两个图形中去。　　2、延长两腰：将梯形的两腰延长并相交于梯形外的一点，构成一大一小两个相似的三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。　　3、平移对角线：将梯形的对角线平移至上底的另一个顶点，并与下底延长线相交构成平行四边形，组成平行四边形的这两个三角形全等，可以利用相关性质解题。　　4、作高线：这种方法一般用于特殊梯形，从梯形上底的一个顶点向下底作高线，可以构建矩形和直角三角形。　　5、作对角线：特殊梯形的对角线也是很好的梯形的辅助线，例如等腰梯形的两条对角线相等，如果题意没有画出可以尝试连接对角线，将题目中的条件进行转化，从而解决问题。　　6、过腰的中点作直线：中点是一个特殊的点，过梯形的一个顶点及一腰中点作直线，与梯形底边的延长线相交，构成两个全等的三角形，从而将问题转化到三角形中进行解决。　　圆中做辅助线的方法　　1、见弦作其弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理，来沟通题设与结论间的联系。　　2、若题目中有“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。　　3、若题目中已知“直径”，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到直角或直角三角形，以便利用其性质。　　4、若题目中存在圆的“切线”时，一般是：连接圆心与切点，这一线段垂直于切线并等于圆的半径。　　5、若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以得出两圆中相等的角。　　做辅助线的方法比较多，但一定是遵循了以下原则：把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形，使问题顺利得解。

初中几何相似三角形的判定定理与相关性质

　　相似三角形是初中几何中重要的证明模型之一，在解决角度问题或求线段长度等问题时可以通过证明两个三角形相似来承接条件和结论，下面小编总结了初中几何相似三角形的判定定理，帮助大家快速掌握这一知识点。　　初中几何相似三角形的定义　　两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置不一定相同，这样的图形叫做相似图形，用符号“∽”来表示。两个图形的相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的。三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。全等三角形可以看做特殊的相似三角形，这时相似比等于1。　　在书写过程中，证明两个三角形相似,与证明两个三角形全等一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，方便得出下一步结论。　　初中几何相似三角形的性质　　1、对应角相等；　　2、对应边成比例，且对应边的比叫做相似比；　　3、对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；　　4、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。　　初中几何相似三角形的判定定理　　1、有两角对应相等的两个三角形相似；　　2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；　　3、三边对应成比例的两个三角形相似。　　4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。　　5、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。　　上文提到的初中几何相似三角形的判定定理的应用非常广泛，所以要求同学们要尽量熟记所有判定定理。在记忆的时候，要注意将初中几何相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理区分开，千万不要混淆了。

直角三角形斜边中线做辅助线应该怎么画

　　如果几何问题中出现直角，我们可以用多种方法来解决问题，其中有一种就是利用直角三角形斜边中线做辅助线的性质，来得出线段的相等关系。下面小编分享一些直角三角形斜边中线做辅助线的题型。　　直角三角形斜边中线的性质　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这叫做直角三角形斜边中线定理，也是数学中关于直角三角形的一个定理。　　直角三角形斜边中线做辅助线　　利用题意中的垂直关系，我们可以构建直角三角形，如果要求证边长的相等关系，可以尝试作出直角三角形斜边中线作为辅助线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理，推断对应边的相等，从而解决问题。　　直角三角形斜边中线做辅助线例题　　在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。求证：四边形DEFG是等腰梯形。　　证明：连接DE、EF、FG　　∵E、F分别是AC、AB的中点　　∴EF是△ABC的中位线∴EF∥BC　　∴四边形DEFG是梯形　　∵AD⊥BC∴∠ADC=90°即△ACD是直角三角形　　∵E是AC的中点∴DE是Rt△ACD斜边上的中线　　∴DE=AC/2　　∵F、G分别是AB、BC的中点　　∴FG=AC/2=DE　　∴梯形DEFG是等腰梯形　　直角三角形斜边中线做辅助线属于常见的辅助线作法，我们在做辅助线的时候要考虑特殊点、特殊线的性质，通过添置适当辅助线，充分发挥这些特殊点、特殊线、特殊图形的作用，达到化难为易，导出结论的目的。

初中几何“相交线、平行线”知识点精讲

　　点、线、面是初中几何的主要学习内容，也构成了这个错综复杂的世界，相交线和平行线是学习初中几何图形以及解析几何的基础，那么接下来小编将与大家分享初中几何“相交线、平行线”的性质。　　初中几何相交线、平行线的定义　　在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。只有一个公共点的两条直线叫做相交线，永远没有交点的两条直线叫做平行线。　　初中几何相交线的性质　　1、邻补角：在两条相交的直线中其中一条直线的一侧，并且有一条公共边，具有这种关系的两个角，互为邻补角。互为邻补角的两个角互补。　　2、对顶角：有一个公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。互为对顶角的两个角相等。　　3、对顶角和邻补角是成对出现的。　　4、两条直线相交所成的四个角中，有一个角为90°时，称这两条直线互相垂直。垂直线是特殊的相交线，该交点也叫做垂足。　　初中几何平行线的性质　　1、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。　　2、平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。　　3、平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线平行于第三条直线时，两条直线平行；在同一平面内，平行或垂直于同一直线的两条直线互相平行。　　初中几何中的相交线、平行线及其相关性质是初中学习的重点内容，因此同学们要将上文提及的全部知识点熟记并学会灵活运用到实际解题中，值得注意的是千万不要相交线和平行线所围成的角的名称记错了。