凸多边形的概念，凸多边形有什么性质

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

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多边形

　　凸多边形是一个内部为凸集的简单多边形，是数学几何图形的学习过程中的一个难点，接下来就让小编来跟大家复习一下凸多边形的概念。

　　凸多边形的概念

　　如果把一个多边形的所有边中的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，若该多边形的其他各边都在此直线的同侧，那么这个多边形就叫做凸多边形；若该多边形的其他各边不都在此直线的同侧，那么这个多边形就叫做凹多边形。

　　根据凸多边形的概念，在判断某个多边形是凸多边形还是凹多边形时可以采用角度法、凸包法、顶点凹凸性法以及辛普森面积法。其中角度法比较常见和简单：确认多边形的每个内角是否都小于180度，若全部小于180度则该多边形为凸多边形，若有一个内角大于180度，则该多边形为凹多边形。

　　凸多边形的性质

　　根据凸多边形的概念，我们可以推算出凸多边形的以下性质：

　　1、凸多边形内所有内角小于180度，任意凸多边形外角和均为360°。

　　2、凸多边形任意两个顶点间的连线一定位于该凸多边形的内部或边上。

　　3、凸多边形内任意两个点的连线全部在凸多边形内部或边上。

　　4、所有的正多边形都是凸多边形，所有的三角形都是凸多边形（因为三角形的内角之和为180度）。

　　5、凸多边形内角中锐角的个数不能多于3个。

　　以上就是小编整理的关于凸多边形的概念和性质的相关内容。同学们不仅要理解掌握凸多边形的概念及其性质，还有了解它和凹多边形的区别并掌握判断方法。

《多边形的内角和》题型的十种解法

　　我们知道三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，那么你能推断出多边形的内角和是多少吗？下面小编整理了《多边形的内角和》题型的十种解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。　　多边形的内角和定理　　多边形内角和定理：n边形的内角的和等于：（n－2）×180°，其中n大于等于3且n为整数。　　解《多边形的内角和》题型的十种解法　　以下以四边形ABCD为例进行解法演示：　　1、连接两个顶点AC，四边形ABCD分成两个三角形，那么四边形的的内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2=360°。　　2、对角线AC、BD将四边形ABCD分成四个三角形，两组对顶角之和是360°，即四边形的内角和等于180°×4-360°=360°。　　3、在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD形成四个三角形，四边形ABCD的内角和等于180°×4-360°=360°。　　4、在BC边上取一点P，连接PA、PD形成三个三角形，四边形ABCD的内角和等于180°×3-180°=360°。　　5、在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于△PAD、△PDC、△PAC三个三角形内角和的和减去△PAB的内角和，即180°×3-180°=360°。　　6、连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+∠BDC，∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD+∠BAD)+(∠FCD+∠BCD)=180°+180°=360°。　　7、过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD+∠EAB+(∠CDF+∠CDA)=∠BAD+∠EAB+∠ADF=∠BAD+∠EAB+∠EAD=360°。　　8、过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，过点A作DF的垂线AG，则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。　　9、若AB//CD，则∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°;若AB不平行于CD，如图9，不妨设BA、CD的延长线相交于点E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=(∠B+∠C+∠E)+(∠ADE+∠E+∠EAD)=180°+180°=360°。综上可得，四边形ABCD的内角和等于360°　　10、连接AC，并延长至G，过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF，则∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四边形ABCD的内角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD=∠FCB+∠FCG+∠ECG+∠DCE+∠BCD=360°。　　解《多边形的内角和》题型的十种解法虽然不用全部记住，但同学们要尽量用不同的解法来解决这一问题，充分发挥自己的想象力，不仅能帮助我们更好地理解和掌握，也可以锻炼自己的思维能力。

多边形的对角线公式

　　日常生活中我们会接触到很多多边形的物体，其中就包括我们很熟悉三角形和四边形，今天我们要学习的就是多边形的对角线公式。　　　　多边形的对角线　　　　由在同一平面且不在同一直线上的三条或三条以上的线段首尾顺次连结且不相交所组成的封闭图形叫做多边形。组成多边形的线段至少有3条，三角形是最简单的多边形。组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的顶点；多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角；连接多边形的两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线。　　　　多边形的对角线公式　　　　对一个n边形而言，其对角线的条数是n(n-3)/2。因为每个顶点和它自己及相邻的两个顶点都不能做对角线，所以n边形的每个顶点只能和n-3个其他的顶点之间做对角线，又因为每一条对角线都要连结两个顶点，所以要除以2。　　　　多边形的内角和公式　　　　多边形的内角和公式也叫做多边形的内角和定理，其内容为：n边形的内角的和=（n－2）×180°，其中n大于等于3且n为整数。根据多边形的内角和公式进行推算，可以证明：对于一个凸多边形而言，任意凸多边形的外角和都为360°。　　　　以上就是多边形的对角线公式。数学考试中对多边形的考查重点放在多边形的对角线公式以及内角和公式上，因此同学们一定要掌握好这两条公式。

初中数学复习：正多边形和圆练习题

　　正多边形和圆是初中数学重要的知识点之一，也是很多同学经常出错的地方。我们除了能在课堂上获取新知识，，也应该通过练习题来巩固学习。下面小编带来几道正多边形和圆的练习题。　　初中数学易错点：正多边形和圆　　1、正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系；　　2、难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。　　初中数学知识点：正多边形和圆　　1、正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形。正多边形的外接圆的半径叫做半径；正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的圆心到正多边形某一边的距离叫做边心距。　　2、正多边形和圆的位置关系有两种：外接和内切。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，两个圆的圆心叫做正多边形的中心。　　3、正n边形的内角和为（n-2）*180°，外角和为360°。　　初中数学复习：正多边形和圆练习题　　（1）正三角形的边心距、半径和高的比是多少？　　解：在正三角形ABC中，圆心为点O，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高。设OD=r，则AO＝2r，AD＝3r 　　∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3 　　（2）已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。　　解：如图所示，设正六边形的边长AB=a，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°　　∴OA=2AH=AB=a　　∴OH²=OA²-AH²=a²-(a/2)²=3a/4即OH=二分之根号三*a　　∴S=π(OH)²=3πa²/4　　以上两道正多边形和圆练习题可以帮助大家学习和巩固关于正多边形和圆的相关知识点，在学习时通过练习来理解和掌握知识点会更加轻松容易，也是一个不错的学习方法。