反比例函数性质的应用举例与知识梳理

作者：陈泽婉
文章来源：星火网校
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反比例函数

　　反比例函数是初中数学一个重要的知识点，尤其是反比例函数性质的应用。下面小编收集了一些反比例函数性质的应用问题，帮助同学们完成课后加强训练。




　　反比例函数图像及性质


　　1、概念：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，而且x≠0。

　　2、图像及其性质：反比例函数的图象是双曲线，无限延伸但不与坐标轴相交。

　　当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；

　　当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．

　　3、待定系数法确定函数解析式：对于反比例函数，只要知道图象上任意一点的坐标，就可以用待定系数法确定函数解析式，即先设出函数解析式，然后将点的坐标代入确定系数k的值。

　　反比例函数性质的应用


　　1、已知反比例函数y=（1-2m）/x（m为常数）的图象在一、三象限。

　　（1）求m的取值范围；

　　（2）若该反比例函数的图象经过平行四边形ABCD的顶点D，点A、B的坐标分别为（0，3），（﹣2，0）。求函数解析式。

　　解：（1）由反比例函数的图像在第一、三象限可知

　　1-2m>0

　　∴m<1/2

　　（2）根据平行四边形的性质可知点D的坐标是（2，3）

　　将点D（2，3）代入y=（1-2m）/x可得3=（1-2m）/2

　　解得m=-2.5

　　2、如图，反比例函数y=k/x的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A(1，4)、点B(-4,n)。

　　（1）求一次函数和反比例函数的解析式； 

　　（2）求△OAB的面积。

　　解：（1）将点A(1，4)分别代入y=k/x和y=x+b可知

　　4=k/1，4=1+b

　　解得k=4，b=3

　　∴反比例函数的解析式为：y=4/x；一次函数的解析式为y=x+3

　　（2）将点B(-4,n)代入y=4/x可得n=4/-4=-1

　　即点B的坐标为（-4，-1）

　　∴点A(1，4)和点B(-4,-1)之间的距离为：AB=5*根号2

　　线段AB到原点的距离为：OC=3/根号2

　　∴△OAB的面积S=（1/2）*AB*OC=7.5

　　以上就是反比例函数性质的应用例题。希望同学们可以重温反比例函数的典型题型，并配以相应的对应练习，总结归纳其解题方法，并达到举一反三的目的。

延伸阅读

反比例函数复习引导，反比例函数知识点总结

　　复习反比例函数首先要理解反比例函数的概念和函数解析式，掌握并利用反比例函数图象与性质解决有关函数值比较大小等实际问题。本文将以反比例函数复习引导为主，提高学生们分析问题、解决问题的能力。　　反比例函数知识点回顾　　1、概念：形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，而且x≠0。　　2、图像及其性质：反比例函数的图象是双曲线，无限延伸但不与坐标轴相交。　　当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；　　当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．　　3、待定系数法确定函数解析式：对于反比例函数，只要知道图象上任意一点的坐标，就可以用待定系数法确定函数解析式，即先设出函数解析式，然后将点的坐标代入确定系数k的值。　　反比例函数复习引导　　反比例函数常以选择填空题、解答题的形式出现在解题中，近年来的反比例函数试题涉及了多个方面的知识点，注重对数学思想方法的考查，综合性较强，难度升级。因此我们要深入探究反比例函数的图像及其特殊性质，掌握解决反比例函数相关问题的基本方法和思想，如数形结合思想、分类讨论思想等，并重视与其他数学知识的联系，提高解决实际应用问题的能力。　　在反比例函数复习过程中，首先要明确反比例函数的重点难点，并利用反比例函数的思想来解决实际问题，当然课后强化训练也是必不可少的。

确定反比例函数解析式的三种方法

　　求反比例函数的解析式，关键在于确定k的值。今天小编来介绍确定反比例函数解析式的三种方法。　　　　待定系数法确定反比例函数解析式　　　　对于反比例函数，只要知道图象上任意一点的坐标，就可以用待定系数法确定函数解析式。具体步骤如下：　　　　1、根据题中所给的已知条件写出含有待定系数的函数关系式y=k/x；　　　　2、将x、y的对应值或图像上点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；　　　　3、解方程得出未知系数的值；　　　　4、将得到的待定系数代回所求的函数关系式中就可以得到该函数的解析式。　　　　根据定义确定反比例函数解析式　　　　反比例函数可以表示为：y=k*x^（-1），在有些题目中x的次数中含有未知数，令其等于-1就可以解出k的值。　　　　利用性质确定反比例函数解析式　　　　反比例函数的图象是两条双曲线，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。利用这一性质可以求比例系数k的值　　　　以上为同学们介绍了确定反比例函数解析式的三种方法，希望大家可以全部掌握。待定系数法是求函数解析式最常用的方法，使用的前提是要知道所求函数是什么函数，才能写出对应的函数关系式进行求解。

反比例函数的一般形式和变形式

　　反比例函数可以用多种形式来表达，今天我们要来了解的是反比例函数的一般形式和变形式。　　　　反比例函数的定义式　　　　一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。因为x在分母上，所以x≠0，即自变量X的取值范围为非零实数。　　　　反比例函数的一般形式和变形式　　　　y＝k／x是反比例函数最常用的表达式，其中x是自变量，y是x的函数。而y=k/x有时也被写成y=k/x=k·1/x；xy=k；y=k·x^-1等形式，这些叫做反比例函数的变形式。　　　　反比例函数的性质　　　　1、反比例函数的定义域和值域都是非零实数。　　　　2、反比例函数的图象属于双曲线，每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会相交。　　　　3、当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大。　　　　4、反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。　　　　反比例函数的一般形式和变形式都可以用来表示反比例函数，因为在反比例函数的解析式y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数k，只要确定了k的值，也就确定了反比例函数的解析式。

反比例函数的图像及其性质是什么

　　学习反比例函数，最重要的就是要掌握其图像和性质，因此小编将反比例函数的图像及其性质整理出来，帮助大家学习。　　　　反比例函数的解析式　　　　一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y＝k／x（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数，有时也被写成y=k/x=k·1/x；xy=k；y=k·x^-1等形式。　　　　反比例函数的图像及其性质　　　　根据反比例函数的解析式，我们可以画出对应的图像。反比例函数的图象是两条双曲线，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交，并且具有以下这些性质：　　　　1、反比例函数图像的位置和函数的增减性是由比例系数k的符号决定的：当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，为减函数；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大，为增函数。　　　　2、反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x，对称中心是坐标原点。　　　　3、比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积为∣k∣。　　　　画反比例函数图像的步骤　　　　1、列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；　　　　2、描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；　　　　3、连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。　　　　在画反比例函数的图像时要注意的是，每一条曲线都无限向X轴Y轴延伸但不与坐标轴相交，因此我们只需要画出中间的一段。　　　　上面就是小编总结的反比例函数的图像及其性质，是解决反比例函数相关问题的关键，因此建议同学们一定要掌握起来。为了更好的理解，建议同学们做一些专题练习，及时发现并解决问题。

正比例函数和反比例函数有什么区别

　　初中学习的正比例函数和反比例函数虽然名称相近，但却有很大的不同，下面小编来说一说正比例函数和反比例函数的区别。　　　　正比例函数的定义及其性质　　　　正比例函数是特殊的一次函数。一次函数的表达式为y=kx+b（k，b是常数，k≠0），特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），此时y叫做x的正比例函数。　　　　反比例函数的定义及其性质　　　　形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，而且x≠0。　　　　反比例函数的图象是双曲线，当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大．　　　　正比例函数和反比例函数的区别　　　　1、定义不同：正比例函数的两个变量x，y之间成正比，反比例函数的两个变量x，y之间成反比。　　　　2、图像不同：正比例函数图像是经过原点（0，0）的一条直线，k决定直线的倾斜角。反比例函数的图象是双曲线，无限延伸但不与坐标轴相交。　　　　3、定义域不同：正比例函数的定义域是全体实数，反比例函数的定义域是除0以外的实数。　　　　上面小编分别介绍了正比例函数和反比例函数，以及他们之间的区别，希望可以帮助同学们正确理解正比例函数和反比例函数，从而更好地解决实际问题。
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