圆的基本性质知识点整理

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1624938633

圆

　　在初中数学中，很可能还会出现关于圆的基本性质的相关内容，所以今天小编给大家整理了圆的基本性质，以供参考。

　　圆的定义

　　
　　在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆的中心叫圆心，用O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。在同一个圆中，圆的直径d=2r。
　　

　　圆的基本性质

　　
　　1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
　　
　　2、顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周角定理：相同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。
　　
　　3、圆是轴对称图形，对称轴在过圆心的直线上，圆有无数条对称轴。
　　
　　4、圆和圆的位置关系：无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。有两个公共点的叫相交。圆和圆的位置关系由圆心距决定。
　　

　　圆的计算公式

　　
　　圆的周长计算公式：C=πd=2πr，半圆的周长C=πr+2r，圆的面积S=πr²。
　　
　　圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母π表示，
　　
　　π≈3.1415926535......计算时通常取近似值3.14。
　　
　　以上就是圆的基本性质。关于圆的题型千变万化，可以与很多知识点综合起来考查，只要掌握圆的基本性质，相信无论题型怎么变化都能从容应对。

如何正确运用垂径定理，垂径定理的推论及证明

　　在关于圆的相关定理中，垂径定理是其中的一个重要的几何定理，而对垂径定理的理解不够透彻将会直接影响几何的解题。那么我们应该如何正确运用垂径定理呢？　　如何正确理解垂径定理　　垂径定理是初中平面几何圆形中的一个定理，其内容是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。用数学几何语言表达为：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AM=BM,弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。　　如何证明垂径定理　　在圆O中，AB是一条非直径的弦，CD为垂直于弦AB的直径，垂足为M。　　证明：连接OA、OB，则OA=OB　　在Rt△OAM和Rt△OBM中　　∵OA=OB，OM=OM　　∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）　　∴AM=BM　　∴∠AOC=∠BOC　　∴∠AOD=∠BOD　　∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD　　如何正确运用垂径定理　　垂径定理揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，它包含了五个基本元素：①过圆心，②垂直弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在上述5个元素中任意两个组成题设，都能推出其他的三个结论。但值得注意的是所有的直径都会互相平分，但不一定会垂直。所以当①过圆心与③平分弦组成题设时，被平分的弦不能是直径。这个也是考试中经常会有陷阱的地方，同学们一定要记得，必须强调这条弦不能是直径。　　如何正确运用垂径定理对解决几何题有着重要的意义，运用垂径定理及其推论解决一些数学问题，最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。

初中数学有关圆知识点归纳

　　无论是在日常生活中还是初中学习数学的过程中，圆这一图形的出现频率都非常高。因此小编整理了一份初中数学有关圆知识点归纳，希望能帮助大家学习。　　圆的定义　　在某一平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形叫做圆。该定点称为圆心，一般用o表示；定长称为圆的半径，一般用r表示。　　初中数学有关圆知识点　　1、直径和半径　　直径是指通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。一个圆有无数条直径，直径所在的直线是圆的对称轴。在同一个圆中，圆的直径是半径的两倍，即d=2r。　　2、圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线。　　3、顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。在同一个圆内，长度相等的弧所对的圆周角等于圆心角的一半。　　4、圆的方程一般表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，而在平面直角坐标系中，圆的标准方程为（x-a）²+（y-b）²=r²，其中圆心O的坐标为点（a，b），半径为r。　　初中数学有关圆的定理　　1、切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。　　2、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。　　3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。　　圆的计算方式　　1、圆的周长C=πd=2πr，半圆的周长=πr+2r=（π+2）r　　2、圆的面积S=πr²　　以上就是小编整理的初中数学有关圆知识点归纳，关于圆展开可以细分成许多知识点，也可以延伸出很多题型，所以同学们要多做一些练习题，不断总结各种题型的出题规律和解题方法。

圆的面积和周长公式，圆相关公式归纳

　　圆无论是在学习还是生活都是经常出现的一种几何图形，从简单的圆面积和周长公式到复杂的圆的方程式，小编对此进行了整理，希望可以帮助同学们掌握这一图形的知识点点。　　　　圆的定义和性质　　　　在某一平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形叫做圆。该定点称为圆心，一般用o表示；定长称为圆的半径，一般用r表示。直径是指通过圆心并且两端都在圆上的线段，用字母d表示。一个圆有无数条直径，直径所在的直线是圆的对称轴。在同一个圆中，圆的直径是半径的两倍，即d=2r。　　　　圆的面积和周长公式　　　　1、圆的周长C=πd=2πr，半圆的周长=πr+2r=（π+2）r　　　　2、圆的面积S=πr²　　　　其中，π是一个固定的值，约等于3.14。也就是说，我们只需要知道一个圆的半径或直径，就可以通过公式计算出圆的面积和周长。　　　　圆的方程式　　　　圆的另一个定义是在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。那么在平面坐标轴中，圆的标准方程是(x-a)²+(y-b)²=r²，圆心O的坐标为（a，b）。　　　　圆的重要定理　　　　1、切线定理：垂直于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。　　　　2、切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。　　　　3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。　　　　以上就是小编整理的圆的面积和周长公式，圆展开可以细分成许多知识点，也可以延伸出很多题型，因此同学们还是要重视起来，多做一些练习题。

圆中做辅助线的方法，初中数学辅助线模型总结

　　圆是常见的几何图形，其中的知识点比较多，可以与很多知识点组合。在很多关于圆的综合题中，通过在圆中做辅助线的方式，可以将难题简单化。下面，小编和大家分享几种在圆中做辅助线的方法，帮助大家更好地学习。　　圆中做辅助线的作用　　辅助线是指在原图基础上所作出的具有极大价值的直线或者线段，多用于几何学中解答疑难几何图形问题。适当的辅助线把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形，从而方便我们解题。平面几何中，辅助线用虚线表示，一道题中可以添加多条辅助线，但一般不宜超过三条，避免将图形复杂化了。　　圆中做辅助线的方法　　1、见弦作其弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理，来沟通题设与结论间的联系。　　2、若题目中有“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。　　3、若题目中已知“直径”，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到直角或直角三角形，以便利用其性质。　　4、若题目中存在圆的“切线”时，一般是：连接圆心与切点，这一线段垂直于切线并等于圆的半径。　　5、若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以得出两圆中相等的角。　　6、若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。　　以上介绍了几种在圆中做辅助线的方法，当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便达到推导出结论的目的。圆中做辅助线的方法并不容易掌握，同学们可以多做一些联系来锻炼这一能力。

初中数学复习：正多边形和圆练习题

　　正多边形和圆是初中数学重要的知识点之一，也是很多同学经常出错的地方。我们除了能在课堂上获取新知识，，也应该通过练习题来巩固学习。下面小编带来几道正多边形和圆的练习题。　　初中数学易错点：正多边形和圆　　1、正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系；　　2、难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。　　初中数学知识点：正多边形和圆　　1、正多边形是指二维平面内各边相等，各角也相等的多边形。正多边形的外接圆的半径叫做半径；正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，这个圆心角叫做正多边形的中心角；正多边形的圆心到正多边形某一边的距离叫做边心距。　　2、正多边形和圆的位置关系有两种：外接和内切。任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，两个圆的圆心叫做正多边形的中心。　　3、正n边形的内角和为（n-2）*180°，外角和为360°。　　初中数学复习：正多边形和圆练习题　　（1）正三角形的边心距、半径和高的比是多少？　　解：在正三角形ABC中，圆心为点O，OD是正三角形的边心距，OA是半径，AD是高。设OD=r，则AO＝2r，AD＝3r 　　∴OD∶AO∶AD＝r∶2r∶3r＝1∶2∶3 　　（2）已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。　　解：如图所示，设正六边形的边长AB=a，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°　　∴OA=2AH=AB=a　　∴OH²=OA²-AH²=a²-(a/2)²=3a/4即OH=二分之根号三*a　　∴S=π(OH)²=3πa²/4　　以上两道正多边形和圆练习题可以帮助大家学习和巩固关于正多边形和圆的相关知识点，在学习时通过练习来理解和掌握知识点会更加轻松容易，也是一个不错的学习方法。