圆中做辅助线的方法，初中数学辅助线模型总结

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1622892094

圆几何辅助线

　　圆是常见的几何图形，其中的知识点比较多，可以与很多知识点组合。在很多关于圆的综合题中，通过在圆中做辅助线的方式，可以将难题简单化。下面，小编和大家分享几种在圆中做辅助线的方法，帮助大家更好地学习。

　　圆中做辅助线的作用

　　辅助线是指在原图基础上所作出的具有极大价值的直线或者线段，多用于几何学中解答疑难几何图形问题。适当的辅助线把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形，从而方便我们解题。平面几何中，辅助线用虚线表示，一道题中可以添加多条辅助线，但一般不宜超过三条，避免将图形复杂化了。

　　圆中做辅助线的方法

　　1、见弦作其弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理，来沟通题设与结论间的联系。

　　2、若题目中有“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。

　　3、若题目中已知“直径”，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到直角或直角三角形，以便利用其性质。

　　4、若题目中存在圆的“切线”时，一般是：连接圆心与切点，这一线段垂直于切线并等于圆的半径。

　　5、若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以得出两圆中相等的角。

　　6、若题目中有“两圆相交”的条件，经常作两圆的公共弦，使之得到同弧上的圆周角或构成圆内接四边形解决，有时还引两连心线以得到结果。

　　以上介绍了几种在圆中做辅助线的方法，当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便达到推导出结论的目的。圆中做辅助线的方法并不容易掌握，同学们可以多做一些联系来锻炼这一能力。

圆的基本性质知识点整理

　　在初中数学中，很可能还会出现关于圆的基本性质的相关内容，所以今天小编给大家整理了圆的基本性质，以供参考。　　　　圆的定义　　　　在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。圆的中心叫圆心，用O表示。连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，字母表示为r；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，字母表示为d。在同一个圆中，圆的直径d=2r。　　　　圆的基本性质　　　　1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。　　　　2、顶点在圆心上的角叫做圆心角；顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。圆周角定理：相同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。　　　　3、圆是轴对称图形，对称轴在过圆心的直线上，圆有无数条对称轴。　　　　4、圆和圆的位置关系：无公共点，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含。有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切。有两个公共点的叫相交。圆和圆的位置关系由圆心距决定。　　　　圆的计算公式　　　　圆的周长计算公式：C=πd=2πr，半圆的周长C=πr+2r，圆的面积S=πr²。　　　　圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率。它是一个无限不循环小数，通常用字母π表示，　　　　π≈3.1415926535......计算时通常取近似值3.14。　　　　以上就是圆的基本性质。关于圆的题型千变万化，可以与很多知识点综合起来考查，只要掌握圆的基本性质，相信无论题型怎么变化都能从容应对。

做辅助线的方法，几何题做辅助线的技巧

　　辅助线是指在原图基础上所作的具有极大解题意义的直线或者线段，多用于几何学中解答疑难几何图形问题。做辅助线的方法有很多种，为了帮助同学们解决此类问题，小编将常见的做辅助线的方法整理成下文。　　三角形做辅助线的方法　　1、等腰三角形“三线合一”法：等腰三角形底边上的中线、底边上的高以及顶角的平分线互相重合，这一性质称之为“三线合一”。在等腰三角形中只需作出其中一条线，就可以运用这三条线的性质来解题。　　2、倍长中线法：顾名思义，即通过延长线段或取线段的中点来揭示图形中隐含性质，聚拢集中已知条件。这个方法也适用于很多图形。　　3、角平分线法：根据角平分线到两边距离相等的性质，自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，构造一对全等三角形。　　4、特殊角度构成法：遇到等腰直角三角形、正方形、或30-60-90的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到边和角的对应数值。　　梯形做辅助线的方法　　1、平移一腰：从梯形的一个顶点作一腰的平行线，将梯形分割为一个平行四边形和一个三角形，从而相关性质，将分散的条件集中到这两个图形中去。　　2、延长两腰：将梯形的两腰延长并相交于梯形外的一点，构成一大一小两个相似的三角形，从而利用特殊三角形的有关性质解决梯形问题。　　3、平移对角线：将梯形的对角线平移至上底的另一个顶点，并与下底延长线相交构成平行四边形，组成平行四边形的这两个三角形全等，可以利用相关性质解题。　　4、作高线：这种方法一般用于特殊梯形，从梯形上底的一个顶点向下底作高线，可以构建矩形和直角三角形。　　5、作对角线：特殊梯形的对角线也是很好的梯形的辅助线，例如等腰梯形的两条对角线相等，如果题意没有画出可以尝试连接对角线，将题目中的条件进行转化，从而解决问题。　　6、过腰的中点作直线：中点是一个特殊的点，过梯形的一个顶点及一腰中点作直线，与梯形底边的延长线相交，构成两个全等的三角形，从而将问题转化到三角形中进行解决。　　圆中做辅助线的方法　　1、见弦作其弦心距，以便利用弦心距与弧、弦之间的关系与垂径定理，来沟通题设与结论间的联系。　　2、若题目中有“弧的中点”条件时，一般连接中点和圆心，利用垂径定理的推论得出结果。　　3、若题目中已知“直径”，可适当选取圆周上的点，连结此点与直径端点得到直角或直角三角形，以便利用其性质。　　4、若题目中存在圆的“切线”时，一般是：连接圆心与切点，这一线段垂直于切线并等于圆的半径。　　5、若题目中有“两圆相切”（内切或外切），往往过切点作两圆的切线或作出它们的连心线（连心线过切点）以得出两圆中相等的角。　　做辅助线的方法比较多，但一定是遵循了以下原则：把不规则的图形转化为规则的图形，把复杂图形转化为简单的基本图形，使问题顺利得解。

初中几何相似三角形的判定定理与相关性质

　　相似三角形是初中几何中重要的证明模型之一，在解决角度问题或求线段长度等问题时可以通过证明两个三角形相似来承接条件和结论，下面小编总结了初中几何相似三角形的判定定理，帮助大家快速掌握这一知识点。　　初中几何相似三角形的定义　　两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置不一定相同，这样的图形叫做相似图形，用符号“∽”来表示。两个图形的相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的。三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。全等三角形可以看做特殊的相似三角形，这时相似比等于1。　　在书写过程中，证明两个三角形相似,与证明两个三角形全等一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，方便得出下一步结论。　　初中几何相似三角形的性质　　1、对应角相等；　　2、对应边成比例，且对应边的比叫做相似比；　　3、对应边的比、对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；　　4、相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方。　　初中几何相似三角形的判定定理　　1、有两角对应相等的两个三角形相似；　　2、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似；　　3、三边对应成比例的两个三角形相似。　　4、平行于三角形的一边且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似。　　5、直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。　　上文提到的初中几何相似三角形的判定定理的应用非常广泛，所以要求同学们要尽量熟记所有判定定理。在记忆的时候，要注意将初中几何相似三角形的判定定理与全等三角形的判定定理区分开，千万不要混淆了。

直角三角形斜边中线做辅助线应该怎么画

　　如果几何问题中出现直角，我们可以用多种方法来解决问题，其中有一种就是利用直角三角形斜边中线做辅助线的性质，来得出线段的相等关系。下面小编分享一些直角三角形斜边中线做辅助线的题型。　　直角三角形斜边中线的性质　　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，这叫做直角三角形斜边中线定理，也是数学中关于直角三角形的一个定理。　　直角三角形斜边中线做辅助线　　利用题意中的垂直关系，我们可以构建直角三角形，如果要求证边长的相等关系，可以尝试作出直角三角形斜边中线作为辅助线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的定理，推断对应边的相等，从而解决问题。　　直角三角形斜边中线做辅助线例题　　在锐角三角形ABC中，AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点。求证：四边形DEFG是等腰梯形。　　证明：连接DE、EF、FG　　∵E、F分别是AC、AB的中点　　∴EF是△ABC的中位线∴EF∥BC　　∴四边形DEFG是梯形　　∵AD⊥BC∴∠ADC=90°即△ACD是直角三角形　　∵E是AC的中点∴DE是Rt△ACD斜边上的中线　　∴DE=AC/2　　∵F、G分别是AB、BC的中点　　∴FG=AC/2=DE　　∴梯形DEFG是等腰梯形　　直角三角形斜边中线做辅助线属于常见的辅助线作法，我们在做辅助线的时候要考虑特殊点、特殊线的性质，通过添置适当辅助线，充分发挥这些特殊点、特殊线、特殊图形的作用，达到化难为易，导出结论的目的。

如何正确运用垂径定理，垂径定理的推论及证明

　　在关于圆的相关定理中，垂径定理是其中的一个重要的几何定理，而对垂径定理的理解不够透彻将会直接影响几何的解题。那么我们应该如何正确运用垂径定理呢？　　如何正确理解垂径定理　　垂径定理是初中平面几何圆形中的一个定理，其内容是：垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。用数学几何语言表达为：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AM=BM,弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。　　如何证明垂径定理　　在圆O中，AB是一条非直径的弦，CD为垂直于弦AB的直径，垂足为M。　　证明：连接OA、OB，则OA=OB　　在Rt△OAM和Rt△OBM中　　∵OA=OB，OM=OM　　∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL）　　∴AM=BM　　∴∠AOC=∠BOC　　∴∠AOD=∠BOD　　∴弧AC=弧BC，弧AD=弧BD　　如何正确运用垂径定理　　垂径定理揭示了垂直于弦的直径和这条弦以及这条弦所对的两条弧之间的内在关系，它包含了五个基本元素：①过圆心，②垂直弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧，在上述5个元素中任意两个组成题设，都能推出其他的三个结论。但值得注意的是所有的直径都会互相平分，但不一定会垂直。所以当①过圆心与③平分弦组成题设时，被平分的弦不能是直径。这个也是考试中经常会有陷阱的地方，同学们一定要记得，必须强调这条弦不能是直径。　　如何正确运用垂径定理对解决几何题有着重要的意义，运用垂径定理及其推论解决一些数学问题，最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。