多边形的内角和公式

作者：陈泽婉
文章来源：星火网校
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多边形内角和定理

　　我们知道三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，那么你能推断出多边形的内角和是多少吗？下面我们就来学习多边形的内角和公式，代入公式后就能轻松解决这一问题了。



　　

　　多边形的内角和公式

　　
　　多边形的内角和公式也叫做多边形的内角和定理，其内容为：n边形的内角的和=（n－2）×180°，其中n大于等于3且n为整数。
　　

　　多边形的内角和公式的推导

　　
　　三角形的内角和是180°，这是一个几何定理，我们可以利用这一定理来推导多边形的内角和公式：
　　
　　1、以六边形为例，在一个六边形内部任取一点，将该点与六边形的各个顶点相连。
　　
　　2、此时六边形被分割成6个小三角形，因为三角形的内角和是180°，所以这6个三角形的所有内角之和是180°×6＝1080°。
　　
　　3、而这6个小三角形的内角和比远六边形的内角和多出来的部分是中间的一个周角，因此六边形的内角和=180°×6－360°＝720°。
　　
　　4、再将六边形变成n边形，可知多边形的内角和=180°×n－360°＝180°×(n－2)
　　

　　多边形内角和公式的推论

　　
　　任意正多边形的外角和=360°
　　
　　根据多边形的内角和公式，我们不难得知多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关。这一知识点的难点在于多边形内角和定理的推导及运用方程的思想来解决多边形内、外角的计算。

延伸阅读

《多边形的内角和》题型的十种解法

　　我们知道三角形的内角和是180度，四边形的内角和是360度，那么你能推断出多边形的内角和是多少吗？下面小编整理了《多边形的内角和》题型的十种解法，帮助大家更好地掌握这一知识点。　　多边形的内角和定理　　多边形内角和定理：n边形的内角的和等于：（n－2）×180°，其中n大于等于3且n为整数。　　解《多边形的内角和》题型的十种解法　　以下以四边形ABCD为例进行解法演示：　　1、连接两个顶点AC，四边形ABCD分成两个三角形，那么四边形的的内角和等于两个三角形内角和之和，即180°×2=360°。　　2、对角线AC、BD将四边形ABCD分成四个三角形，两组对顶角之和是360°，即四边形的内角和等于180°×4-360°=360°。　　3、在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD形成四个三角形，四边形ABCD的内角和等于180°×4-360°=360°。　　4、在BC边上取一点P，连接PA、PD形成三个三角形，四边形ABCD的内角和等于180°×3-180°=360°。　　5、在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于△PAD、△PDC、△PAC三个三角形内角和的和减去△PAB的内角和，即180°×3-180°=360°。　　6、连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵∠EAD=∠ABD+∠BDA，∠FCD=∠CBD+∠BDC，∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD+∠BAD)+(∠FCD+∠BCD)=180°+180°=360°。　　7、过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD+∠EAB+(∠CDF+∠CDA)=∠BAD+∠EAB+∠ADF=∠BAD+∠EAB+∠EAD=360°。　　8、过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，过点A作DF的垂线AG，则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠DFB=∠C+∠CDF，∠AGF=∠DAG+∠ADF，∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC+∠DFB+∠AGF+∠EAG=90°×4=360°。　　9、若AB//CD，则∠B+∠C=∠A+∠D=180°，∴∠B+∠C+∠A+∠D=360°;若AB不平行于CD，如图9，不妨设BA、CD的延长线相交于点E，∵∠BAD=∠E+∠ADE，∠ADC=∠E+∠EAD，∴∠B+∠C+∠BAD+∠ADC=(∠B+∠C+∠E)+(∠ADE+∠E+∠EAD)=180°+180°=360°。综上可得，四边形ABCD的内角和等于360°　　10、连接AC，并延长至G，过点C分别作AD、AB的平行线CE、CF，则∠D=∠DCE，∠DAC=∠ECG，∠BAC=∠FCG，∠B=∠FCB，∴四边形ABCD的内角和=∠B+∠BAC+∠CAD+∠D+∠BCD=∠FCB+∠FCG+∠ECG+∠DCE+∠BCD=360°。　　解《多边形的内角和》题型的十种解法虽然不用全部记住，但同学们要尽量用不同的解法来解决这一问题，充分发挥自己的想象力，不仅能帮助我们更好地理解和掌握，也可以锻炼自己的思维能力。

七边形内角和是多少？巧解多边形的内角和

　　同学们在计算七边形的内角和时，一般是用什么方法呢？像三角形、四边形这样的简易图形，我们可以画出特殊的图形的来帮助计算，但是像七边形这样的多边形，作画就很不方便了。那么有什么七边形内角和的快速计算方法吗？　　　　七边形内角和的计算方法　　　　其实我们可以通过多边形的内角和公式来计算七边形的内角和是多少。所谓的多边形的内角和公式也叫做多边形的内角和定理，其内容为：n边形的内角的和=（n－2）×180°，其中n大于等于3且n为整数。也就是说：七边形的内角和=（7-2）×180°=900°。　　　　七边形的基础知识点　　　　在几何学中，七边形是指有七条边和七个顶点的多边形，其内角和为900度。七边形有很多种，其中对称性最高的是正七边形。其他的七边形依照其类角的性质可以分成凸七边形和非凸七边形，其中凸七边形代表所有内角角度皆小于180度。非凸七边形可以在近一步分成凹七边形和星形七边形，其中星形七边形表示边自我相交的七边形。　　　　以上就是七边形内角和的计算方法。根据多边形的内角和公式，我们不难得知多边形的内角和仅与边数有关，与多边形的大小、形状无关。因此只要知道边数就可以求出这个图形的内角和是多少了。
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