常见勾股定理的证明方法有哪些，如何证明勾股定理

作者：陈泽婉

文章来源：星火网校

最新编辑时间：1626245136

勾股定理

　　说起勾股定理，相信各位初中生应该都不陌生，无论在学习还是生活中都会有它的存在。那么你知道常见勾股定理的证明方法有哪些吗？接下来跟着小编一起了解一下吧。

　　勾股定理是什么

　　勾股定理是一个基本的几何定理，指在任一直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a2+b2=c2。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理。中国周朝时期就有“勾三股四弦五”的说法了。

　　常见勾股定理的证明方法有哪些

　　勾股定理现约有500种证明方法，在西方，最早证明此定理的是毕达哥拉斯学派的演绎法。下面介绍几种常见的勾股定理证明方法。

　　1、赵爽弦图：通过作图的方式来证明。将一个大正方形划分成四个等大的直角三角形和一个小正方形，通过面积的不同表达式最终得出a²+b²=c²的定理

　　2、欧几里得证法

　　作三个边长分别为a、b、c的三角形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结。

　　BF、CD过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L

　　∵AF=AC，AB=AD，∠FAB=∠GAD

　　∴ΔFAB≌ΔGAD

　　∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半

　　∵正方形ADEB的面积=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积

　　∴a²+b²=c²

　　以上就是常见勾股定理的证明方法，除此之外还有邹元治证明、梅文鼎证明、项明达证明、李锐证明、陈杰证明等等，由此也可以看出勾股定理在数学领域的重要性，所以同学们一定要重视起来。

等腰直角三角形求斜边的方法有多少种

　　等腰直角三角形是一种特殊的三角形，所以也经常在考试中出现，那么你知道等腰直角三角形求斜边的方法有哪些吗？想知道更多关于等腰直角三角形的相关知识，就接着往下看吧。　　等腰直角三角形的性质　　等腰直角三角形是指两直角边相等，两个锐角相等的直角三角形。等腰直角三角形具有所有三角形的共同特征，同时两腰相等，两底角等于45°，等腰直角三角形三边比例为1:1：根号二。　　等腰直角三角形求斜边的方法　　1、方法一：利用勾股定理。　　在等腰直角三角形ABC中，角C为90度，角A=角B=45°，a=b，根据勾股定理c=根号内（a²+b²）=根号内（2a²）=a*根号二=b*根号二。　　2、方法二：利用等腰三角形三线合一定理　　在等腰直角三角形ABC中，角C为90度，角A=角B=45°，a=b，作c边上的高d，根据等腰三角形斜边上中线角平分线垂线三线合一，c=ab/d=a²/（c/2）=2a²/c，化简可得c=a*根号二=b*根号二。　　3、方法三：利用三角函数　　c=a/sin45°=b/cos45°=a*根号二=b*根号二。　　等腰直角三角形的判定方法　　1、有一个角是直角的等腰三角形，或两条边相等的直角三角形是等腰直角三角形。　　2、三边比例为1：1：√2的三角形是等腰直角三角形　　3、底角为45°的等腰三角形是等腰直角三角形。　　4、有一个锐角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。　　以上就是小编总结的等腰直角三角形求斜边的方法，考试中对特殊图形的考查还是比较多的，因此在平时的学习过程中要格外重视像等腰直角三角形这样的特殊图形，可以帮助我们考出更理想的成绩。

45度角怎么算斜长，30度角怎么算斜长

　　45度角和30度角都是三角形中比较特殊的内角角度，利用角度和边长的关系可以求出斜边长。接下来小编将分享一些45度角怎么算斜长的方法。　　45度角怎么算斜长　　1、根据三角函数来计算斜边长：如果知道对边长度a，45度角斜长=a÷sin45度；如果知道底边长度b，45度角斜长=b÷cos45度；如果知道三角形外接圆的半径R，45度角斜长=2R*sin45度。　　2、根据勾股定理来计算斜边长：在直角三角形中，有一个角为45度，那么另一个角也是90-45=45度，因此两条直角边相等，c=根号内a²+b²=根号内2a²=a*根号2。　　30度角怎么算斜长　　1、根据三角函数来计算斜边长：如果知道对边长度a，30度角斜长=a÷sin30度；如果知道底边长度b，30度角斜长=b÷cos30度；如果知道三角形外接圆的半径R，30度角斜长=2R*sin30度。　　2、根据勾股定理来计算斜边长：在直角三角形中，有一个角为30度，则它的对边是斜边长度的一半，故c=2a=b*根号3/2。　　从以上两种方法来说，三角函数适用于所有三角形，而勾股定理需要在直角三角形中才能发挥作用，因此在解题时首选三角函数进行解答，但勾股定理的应用有时候能让题目更简单，两种方法各有利弊，需要同学们在实践中不断总结经验，选取最适合的方法来解题。　　以上就是小编分享的45度角怎么算斜长的方法，解决这类题型并不会太难，但要求大家要有一定的数学几何思维，才能更好地学习平面几何。

求直角三角形斜边长怎么算

　　直角三角形是一种特殊的三角形，围绕着它可以有很多种题型，例如怎么求直角三角形斜边长？那么下面就由小编来分享一下求直角三角形斜边长的方法吧。　　直角三角形斜边长的定义　　直角三角形是由三条边组成，并且有一个内角为直角的几何图形，有普通的直角三角形和等腰直角三角形两种，具有一些特殊性质和判定方法。在直角三角形中，直角所对的边称为斜边，与直角相邻的两条边称为直角边。　　怎么求直角三角形斜边长　　直角三角形斜边具有一些特殊性质：　　1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，也叫做勾股定理。　　2、在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边的射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。这是射影定理的内容。　　3、直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，因为它们都等于该三角形面积的一半。　　4、直角三角形斜边上的中线（斜边的中点和斜边所对顶点的连线）等于斜边的一半。　　5、在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。　　上述直角三角形斜边的特殊性质都可以用来求直角三角形斜边长，只要知道相对应的条件，就可以求出直角三角形斜边的长度了，同样的也可以求出其他边的长度或其他角的角度了。　　以上就是小编分享的怎么求直角三角形斜边长的方法，除了求直角三角形斜边长，还可以求其他边或角，本质都是一样的，只要掌握以上的定理就行了。

常见的勾股定理公式汇总

　　勾股定理是初中数学学习阶段非常重要的一个定理，与之相关有许多公式都是需要背诵记忆的，所以小编整理了一份常见的勾股定理公式大全，以供大家参考。　　勾股定理的公式　　勾股定理的内容是：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。　　1、勾股定理的基本公式　　如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a²+b²=c²。　　2、勾股定理的完全公式　　a=m，b=(m^2/k-k)/2，c=(m^2/k+k)/2，其中m≥3　　当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m^2的所有小于m的因子}　　当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m^2/2的所有小于m的偶数因子}　　常用的勾股定理公式　　1、(3，4，5)，(6，8，10)……3n，4n，5n(n是正整数)。　　2、(5，12，13)，(7，24，25)，(9，40，41)……2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1(n是正整数)。　　3、(8，15，17)，(12，35，37)……2^2*(n+1)，[2(n+1)]^2-1，[2(n+1)]^2+1(n是正整数)。　　4、m^2-n^2，2mn，m^2+n^2(m、n均是正整数，m>n)。　　5、常用关系式：由三角形的面积公式可得：AC·BC=CD·AB。　　6、在直角三角形中，两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半。　　以上内容就是小编整理的常见的勾股定理公式汇总，希望对大家学习数学有帮助。常见的勾股定理公式也是经常出现的知识点，而相关的公式和知识点比较多又复杂，因此同学们要善于整理和总结，才能完全掌握好勾股定理的内容。　　

勾股定理计算公式是什么

　　中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以这三边的长度关系称为勾股定理。那么勾股定理计算公式是什么呢？下面就让小编来和大家分享一下勾股定理的计算公式。　　勾股定理是什么　　勾股定理的内容是：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形ABC的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的基本计算公式是a²+b²=c²。公式的变形a²=c²-b²，b²=c²-a²。　　勾股定理计算公式是什么　　1、（3，4，5），（6，8，10）……3n，4n，5n（n是正整数）。　　2、（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）……2n+1，2n^2+2n，2n^2+2n+1（n是正整数）。　　3、（8，15，17），（12，35，37）……2^2*（n+1），[2（n+1）]^2-1，[2（n+1）]^2+1（n是正整数）。　　4、m^2-n^2，2mn，m^2+n^2（m、n均是正整数，m＞n）。　　5、常用关系式：由三角形的面积公式可得：AC·BC=CD·AB。　　6、在直角三角形中，两个锐角互余，30度角所对的直角边等于斜边的一半。　　关于勾股计算公式是什么的问题就为大家解答完毕了，这一公式在解三角形等图形类的问题中非常重要，大家一定要理解并熟记。同学们在记忆时可以记住3,4,5这一组特殊的数，因为3²+4²=5²，刚好是勾股定理计算公式。