三角形的中位线定理如何证明

作者:陈泽婉
文章来源:星火网校
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  中位线是初中数学的一个重要的知识点,根据中位线的性质可以使题目变得简单得多。下面我们来学习三角形的中位线定理。



  

  三角形的中位线定理

  
  三角形中位线定理可以表述为:三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触),并且等于第三边的一半。
  

  三角形中位线定理的证明

  
  如图1,已知△ABC中,D,E分别是AB,AC两边中点。
  
  求证DE平行于BC且等于BC/2
  
  方法一:过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
  
  ∵CG∥AD
  
  ∴∠A=∠ACG
  
  ∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号)
  
  ∴△ADE≌△CGE (A.S.A)
  
  ∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
  
  ∵D为AB中点
  
  ∴AD=BD
  
  ∴BD=CG
  
  又∵BD∥CG
  
  ∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
  
  ∴DG∥BC且DG=BC
  
  ∴DE=DG/2=BC/2
  
  ∴三角形的中位线定理成立。
  

  三角形中位线的逆定理

  
  逆定理一:在三角形内,与三角形的两边相交,平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
  
  逆定理二:在三角形内,经过三角形一边的中点,且与另一边平行的线段,是三角形的中位线。
  
  注意:在三角形内部,经过一边中点,且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
  
  以上就是三角形的中位线定理。有时题意的已知条件中不一定会出现中位线,因此我们要通过做辅助线来获取结论。

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